更新の延期はできますか？

できます。「一般社団法人日本医療保育学会認定「医療保育専門士」資格更新制度の ⑥ と ⑦ に記載してあります。
⑥ 疾病、出産・育児、災害等のやむを得ない理由で、規定の資格更新申請を行うことができない場合には、あらかじめ、延期願い（所定の様式）を更新申請期間内に資格認定委員会に届出る。
⑦ 延期願いが受理された際には3年間を限度として申請の延期をすることができる。延期中の期間は、その資格を停止する。